Учился на историческом факультете Московского университета, участвовал в студенческих любительских спектаклях, где познакомился с Евгением Вахтанговым (1906).
Увлечённый театральными идеями К. Станиславского, Сушкевич с 1908 года был сотрудником Художественного театра, в 1912 году был принят в его труппу. В том же году Сушкевич стал одним из инициаторов создания 1-й Студии МХТ, где работал в творческом содружестве с Вахтанговым и Леопольдом Сулержицким, был членом дирекции (правления), ставил спектакли, был одним из ведущих актёров.

После смерти Сулержицкого в 1916 году Сушкевич фактически возглавлял 1-ю Студии МХТ — до 1924 года, когда Студия была преобразована в театр МХАТ 2-й, уже под руководством Михаила Чехова. В 1919 году поставил «Разбойников» Ф. Шиллера в только что открывшемся Большом драматическом театре в Петрограде.

В конце 1932 года Сушкевич покинул МХАТ 2-й и в 1933-м был назначен художественным руководителем и директором Ленинградского академического театра драмы (ныне Российский государственный академический театр драмы им. А. С. Пушкина), где поставил, в частности, пьесу Горького «Враги» и 2-ю редакцию «Петра I» А. Н. Толстого (1-ю редакцию Сушкевич поставил во МХАТе 2-м, 3-ю — в Новом театре).

В 1937 году Сушкевич возглавил ленинградский Новый театр, созданный в 1933 году Исааком Кроллем. Здесь режиссёр работал до конца жизни, прививал молодому коллективу мхатовские традиции, после долгого перерыва вновь выходил на сцену как актёр. Крупнейшей работой Сушкевича, как режиссёра, так и актёра, стал спектакль «Перед заходом солнца» Гауптмана (1940), где он сыграл Маттиаса Клаузена.
На протяжении многих лет Борис Сушкевич занимался преподавательской деятельностью; с переездом в Ленинград в 1933 году стал профессором Ленинградского театрального института, с 1936 года был его директором.